miércoles, 16 de diciembre de 2009

16. Potencial periódico





El potencial periódico

Examinemos en esta sección el potencial periódico, formado por infinitos pozos de potencial iguales. El efecto de la red lineal será el de cambiar la función de onda de la partícula libre de modo que en lugar de tener una amplitud constante, esta función de onda tenga una amplitud variable u(x).

Como el potencial es periódico con periodo l=a+b, suma de la anchura a del pozo y de la separación b entre pozos, se deberá cumplir que
u(x+l)=u(x)
Ambas expresiones constituyen el teorema de Bloch. Podemos obtener la imagen de dichas funciones de onda considerando que u(x) se asemeja a la función de onda de los átomos aislados (de un pozo de potencial) y reemplazando exp(ikx) por las funciones de onda de una partícula libre en una caja de potencial. Esto es lo que hemos observado al visualizar las funciones de onda de los primeros niveles de energía de un sistema de pozos de potencial.




Modelo de Kronig-Penney

Consideremos el movimiento de una partícula en un potencial periódico de periodo l=a+b, formado por un pozo de potencial de anchura a y profundidad E0, y una barrera de potencial de anchura b. En la figura muestra tres regiones en las que vamos a obtener la solución de la ecuación de Schrödinger.
Solido8.gif (2212 bytes)
  • En la primera

  • En la segunda región

  • En la tercera región, la solución se puede obtener a partir de la primera aplicando la condición de periodicidad.

El punto x en la región 3 se corresponde con el punto x-l en la región 1, de modo que u(x)=u(x-l).

Despejando u(x) e introduciendo dicha expresión en la función de onda en la tercera región.

Escribiremos ahora las condiciones de continuidad de la función de onda y de su derivada primera en los puntos x=0, y x=a.
  • en x=0

Se obtiene

  • en x=a


Tenemos un sistema homogéneo de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, el determinante de los coeficientes debe ser cero. Para el caso en el queE0, que es el que estudiamos en el applet, k1 es una cantidad imaginaria, llamemos k1=ik3.

Ecuación que nos da la relación entre la energía E y el número de onda k, y que representaremos en la ventana del applet. Ya que el módulo del coseno no puede ser mayor que la unidad, obtenemos así la condición impuesta a k3 y a k2 y por tanto a la energía E.

Esta condición define las bandas de energía permitidas.


Fuente: http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/teoria/A_Franco/cuantica/lineal/lineal.htm

1 comentario:

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