miércoles, 16 de diciembre de 2009

2. Dispersión de partículas alfa por un núcleo





Introducción

La ley de la Gravitación Universal describe la interacción entre cuerpos debido a su masa. La fuerza de atracción entre dos cuerpos es central y conservativa, su módulo es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa los centros de ambos cuerpos. Cuando se integra la ecuación diferencial que describe el movimiento de un cuerpo bajo la acción de dicha fuerza obtiene una trayectoria que es una cónica. El tipo de cónica depende signo de la energía total del cuerpo.
Trayectoria
Energía
Elipse
E<0
Parábola
E=0
Hipérbola
E>0
Los planetas describen elipses estando el Sol en uno de sus focos. El hecho de que la energía sea negativa se debe a que la energía potencial de una fuerza atractiva es negativa, y la energía cinética es menor que la energía potencial (el cuerpo está confinado).
La interacción eléctrica puede ser repulsiva o atractiva según que las cargas sean del mismo o distinto signo. La fuerza que describe la interacción eléctrica es central y conservativa, su módulo, de acuerdo a ley de Coulomb, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa ambas cargas.
En este programa, estudiaremos la dispersión de partículas alfa (núcleos de helio) por el núcleo de un átomo, experiencia que condujo a la determinación de la estructura del átomo por el físico Rutherford. En general, la dispersión es de especial interés en física atómica y nuclear. Por ejemplo, cuando un protón, acelerado por un ciclotrón pasa cerca de un núcleo del material blanco, es desviado o dispersado debido a la repulsión con el núcleo.
En la sección titulada Física en el juego del baloncesto, introdujimos el concepto de dispersión con ocasión del estudio de los choques de un balón considerado rígido con los aros que sujetan la canasta. En el modelo estudiado, el aro ejerce una fuerza instantánea que cambia la dirección del balón de acuerdo con la ley de la reflexión. El objetivo del programa consistía básicamente en conocer el significado de las magnitudes: parámetro de impacto y ángulo de dispersión, y la relación cualitativa entre ambas magnitudes.
El objetivo de este programa, es el de profundizar en el estudio del fenómeno de la dispersión, considerando las fuerzas repulsivas de largo alcance que ejerce el núcleo del átomo sobre las partículas alfa incidentes.

Descripción

La interacción entre partículas cargadas positivamente corresponde a una fuerza central y conservativa. La energía total

es siempre positiva por lo que la trayectoria es siempre una hipérbola.
La ecuación de una cónica en coordenadas polares es

Para una hipérbola e>1, donde e es la excentricidad de la órbita,  E es la energía total, L el momento angular, y k un parámetro proporcional al producto de la cargas del núcleo del átomo por la carga de la partícula alfa.
En la figura, el punto A es la posición de partida de la partícula, lejos de la influencia del centro fijo de fuerzas. El punto B es la posición final, también lejos de la influencia del centro de fuerzas. La partícula ha cambiado la dirección de su velocidad pero no su módulo.
Disper_1.gif (3689 bytes)
Parámetro de impacto
El parámetro de impacto es la distancia existente entre la dirección de la partícula incidente, cuando se encuentra muy alejada del centro de fuerzas, y el centro de fuerzas, en la posición A de la figura.
Lejos del núcleo la partícula alfa no tiene energía potencial solamente energía cinética,, y un momento angular , siendo v la velocidad de la partícula y b su parámetro de impacto.
Ángulo de dispersión
Cuando la partícula se aleja mucho del centro de fuerzas, en la posición B en la figura, sigue una trayectoria que tiende asintóticamente a una línea recta. El ángulo que forma dicha recta con el eje horizontal se denomina ángulo de dispersión.
El ángulo de dispersión F es el formado por la dirección inicial y final de la velocidad de la partícula alfa. Se obtiene a partir de la ecuación de la trayectoria, haciendo la distancia radial r igual a infinito. Entonces, en la ecuación de la trayectoria

El ángulo límite es q, y teniendo en cuenta que F=180-2q, véase la figura, se obtiene la fórmula que relaciona el parámetro de impacto b con el ángulo de dispersión F para una energía E dada de la partícula alfa.


Actividades

Completar la siguiente tabla, apuntando el ángulo de dispersión para los parámetros de impacto que se indican en la primera columna, para cada una de las siguientes energías 2, 6, etc.

Energía
P. impacto
2
6


0.5




1




1.5




2




2.5




3




3.5




4




4.5




5




¿Cómo varía el ángulo de dispersión con el parámetro de impacto?
¿Cuál es el efecto de la energía de la partícula en dicha gráfica?.
  • Cuando la energía de la partícula es grande
  • Cuando la energía de la partícula es pequeña.
Fuente: http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/teoria/A_Franco/cuantica/dispersion/dispersion.html


La estructura atómica


Introducción

La experiencia de Rutherford fue crucial en la determinación de la estructura atómica. Los párrafos que siguen son un extracto de su propia comunicación (1911):
"Es un hecho bien conocido que las partículas alfa y beta sufren desviaciones de sus trayectorias rectilíneas a causa de las interacciones con los átomos de la materia.
Parece indudable que estas partículas de movimiento veloz pasan en su recorrido a través de los átomos, y las desviaciones observadas son debidas al campo eléctrico dentro del sistema atómico.
Las observaciones de Geiger y Mardsen sobre la dispersión de partículas alfa, indican que algunas de estas partículas deben de experimentar en un solo encuentro desviaciones superiores a un ángulo recto.
Un cálculo simple demuestra que el átomo debe de ser asiento de un intenso campo eléctrico para que se produzca una gran desviación en una colisión simple..."
En aquella época Thomson había elaborado un modelo de átomo consistente en un cierto número N de corpúsculos cargados negativamente, acompañados de una cantidad igual de electricidad positiva distribuida uniformemente en toda una esfera. Rutherford pone a prueba este modelo y sugiere el actual modelo de átomo.
"La teoría de Thomson está basada en la hipótesis de que la dispersión debida a un simple choque atómico es pequeña y que la estructura supuesta para el átomo no admite una desviación muy grande de una partícula alfa que incida sobre el mismo, a menos que se suponga que el diámetro de la esfera de electricidad positiva es pequeño en comparación con el diámetro de influencia del átomo. Puesto que las partículas alfa y beta atraviesan el átomo, un estudio riguroso de la naturaleza de la desviación debe proporcionar cierta luz sobre la constitución del átomo, capaz de producir los efectos observados. En efecto, la dispersión de partículas cargadas de alta velocidad por los átomos de la materia constituyen uno de los métodos más prometedores de ataque del problema.."
En la simulación de la experiencia de Rutherford, consideramos una muestra de un determinado material a elegir entre varios y la situamos en el centro de un conjunto de detectores dispuestos a su alrededor. El blanco es bombardeado por partículas alfa de cierta energía producidas por un material radioactivo. Se observa que muy pocas partículas son desviadas un ángulo apreciable, y se producen muy raramente sucesos en los que la partícula alfa retrocede.

Descripción

Como hemos visto al estudiar el fenómeno de la dispersión, la interacción entre partículas cargadas positivamente corresponde a una fuerza central y conservativa. La energía total es siempre positiva por lo que la trayectoria es siempre una hipérbola.
Se denomina parámetro de impacto a la distancia existente entre la dirección de la partícula incidente y el centro de fuerzas.
Una vez que la partícula ha sido dipersada por el núcleo se aleja del centro de fuerzas siguiendo una trayectoria que tiende asintóticamente a una línea recta. El ángulo F que forma dicha recta con el eje horizontal se denomina ángulo de dispersión.
La fórmula que relaciona el parámetro de impacto b con el ángulo de dispersión F para una energía E dada de la partícula alfa, como hemos visto, es la siguiente.


Sección eficaz para la dispersión
Consideremos un haz uniforme de partículas cargadas, todas con la misma masa y energía que inciden sobre un centro de fuerzas, por ejemplo, un núcleo de una muestra metálica
El haz incidente está caracterizado por su intensidad I, que mide el número de partículas que atraviesan el área normal al haz en la unidad de tiempo. La dirección final de cada partícula del haz será diferente debido a la dispersión por el núcleo.
Se denomina sección eficaz para la dispersión s(F) al número de partículas dispersadas en el ángulo sólido dW por unidad de tiempo, dividido entre la intensidad incidente.
RUTH_2.gif (3043 bytes)
El área sombreada de la esfera tiene un área (2Rsin F)(RdF), que corresponde al ángulo sólido dW 2sinF dF.
El número de partículas que inciden sobre el centro dispersor con un parámetro de impacto entre b y b+db es I (2bdb), siendo I la intensidad del haz incidente. Dichas partículas cambiarán su dirección debido a la dispersión, estando su ángulo de desviación comprendido entre F y F+dF. Luego,

Se ha introducido el signo menos debido a que un incremento del parámetro de impacto b, corresponde a una disminución de la fuerza ejercida por la partícula y por tanto, a una disminución del ángulo de dispersión F.
Teniendo en cuenta la relación entre parámetro de impacto y ángulo de dispersión, se obtiene la expresión

Esta es la famosa fórmula de Rutherford, la sección eficaz diferencial de dispersión, confirmada por las experiencias de Geiger y que dio lugar a un nuevo modelo de átomo, formado por un núcleo muy pequeño cargado positivamente y una región amplia en torno al núcleo en la que se distribuye la carga negativa.

Actividades

Seleccionar el material del blanco elegido en la caja combinada desplegable.
Para cada energía E de las partículas alfa, anotar el número de partículas alfa que se registran en los contadores situados en los ángulos q que se indican en la primera columna. Por ejemplo, en la casilla 0, se anotan las partículas registradas por dicho contador, en la casilla 10, se anotan la suma de las partículas registradas por los contadores situados a ambos lados del contador 0, y así sucesivamente.
Al lado del material del blanco elegido en la caja combinada desplegable, se indica su numero atómico. Cuanto mayor sea éste mayor será la intensidad de la fuerza repulsiva (ley de Coulomb) entre el núcleo fijo de dicho elemento y la partícula alfa. Verificar la influencia del número atómico en el experimento de dispersión, manteniendo constante la energía de las partículas alfa incidentes.

Material:
q/E
1


0



10



20



30



40



50



60



70



80



90



100



110



120



130



140



150



160



170



Experimentar con distintos blancos y energías de las partículas alfa. Observar que son muy raros los sucesos en los que la partícula alfa experimenta una gran desviación.

Fuente: http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/teoria/A_Franco/cuantica/rutherford/rutherford.html

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