miércoles, 16 de diciembre de 2009

3. La radiación del cuerpo negro



El término radiación se refiere a la emisión continua de energía desde la superficie de todos los cuerpos, esta energía se denomina radiante y es transportada por las ondas electromagnéticas. Las ondas de radio, las radiaciones infrarrojas, la luz visible, la luz ultravioleta, los rayos X y los rayos gamma, constituyen las distintas regiones del espectro electromagnético. Las ondas electromagnéticas viajan en el vacío a la velocidad de 3 108 m/s y transportan energía radiante. Cuando inciden sobre la superficie de un cuerpo en parte son reflejadas y el resto transmitidas.

Propiedades de la superficie de un cuerpo

Sobre la superficie de un cuerpo incide constantemente energía radiante, tanto desde el interior como desde el exterior, la que incide desde el exterior procede de los objetos que rodean al cuerpo. Cuando la energía radiante incide sobre la superficie una parte se refleja y la otra parte se transmite.
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Consideremos la energía radiante que incide desde el exterior sobre la superficie del cuerpo. Si la superficie es lisa y pulimentada, como la de un espejo, la mayor parte de la energía incidente se refleja, el resto atraviesa la superficie del cuerpo y es absorbido por sus átomos o moléculas.Si r es la proporción de energía radiante que se refleja, y a la proporción que se absorbe, se debe de cumplir que r+a=1.
La misma proporción r de la energía radiante que incide desde el interior se refleja hacia dentro, y se transmite la proporción a=1-r que se propaga hacia afuera y se denomina por tanto, energía radiante emitida por la superficie.
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En la figura, se muestra el comportamiento de la superficie de un cuerpo que refleja una pequeña parte de la energía incidente. Las anchuras de las distintas bandas corresponden a cantidades relativas de energía radiante incidente, reflejada y transmitida a través de la superficie.
Comparando ambas figuras, vemos que un buen absorbedor de radiación es un buen emisor, y un mal absorbedor es un mal emisor. También podemos decir, que un buen reflector es un mal emisor, y un mal reflector es un buen emisor.
Una aplicación práctica está en los termos utilizados para mantener la temperatura de los líquidos como el café. Un termo tiene dobles paredes de vidrio, habiéndose vaciado de aire el espacio entre dichas paredes para evitar las pérdidas por conducción y convección. Para reducir las pérdidas por radiación, se cubren las paredes con una lámina de plata que es altamente reflectante y por tanto, mal emisor y mal absorbedor de radiación.

El cuerpo negro

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La superficie de un cuerpo negro es un caso límite, en el que toda la energía incidente desde el exterior es absorbida, y toda la energía incidente desde el interior es emitida.
No existe en la naturaleza un cuerpo negro, incluso el negro de humo refleja el 1% de la energía incidente.
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Sin embargo, un cuerpo negro se puede sustituir con gran aproximación por una cavidad con una pequeña abertura. La energía radiante incidente a través de la abertura, es absorbida por las paredes en múltiples reflexiones y solamente una mínima proporción escapa (se refleja) a través de la abertura. Podemos por tanto decir, que toda la energía incidente es absorbida.

La radiación del cuerpo negro

Consideremos una cavidad cuyas paredes están a una cierta temperatura. Los átomos que componen las paredes están emitiendo radiación electromagnética y al mismo tiempo absorben la radiación emitida por otros átomos de las paredes. Cuando la radiación encerrada dentro de la cavidad alcanza el equilibrio con los átomos de las paredes la cantidad de energía que emiten los átomos en la unidad de tiempo es igual a la que absorben. En consecuencia, cuando la radiación dentro de la cavidad está en equilibrio con las paredes, la densidad de energía del campo electromagnético es constante.
A cada frecuencia corresponde una densidad de energía que depende solamente de la temperatura de las paredes y es independiente del material del que están hechas.
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Si se abre un pequeño agujero en el recipiente, parte de la radiación se escapa y se puede analizar. El agujero se ve muy brillante cuando el cuerpo está a alta temperatura, y se ve completamente negro a bajas temperaturas.
Históricamente, el nacimiento de la Mecánica Cuántica, se sitúa en el momento en el que Max Panck explica el mecanismo que hace que los átomos radiantes produzcan la distribución de energía observada. Max Planck sugirió en 1900 que
  1. La radiación dentro de la cavidad está en equilibrio con los átomos de las paredes que se comportan como osciladores armónicos de frecuencia dada n .
  2. Cada oscilador puede absorber o emitir energía de la radiación en una cantidad proporcional a n. Cuando un oscilador absorbe o emite radiación electromagnética, su energía aumenta o disminuye en una cantidad hn .
La segunda hipótesis de Planck establece que la energía de los osciladores está cuantizada. La energía de un oscilador de frecuencia n sólo puede tener ciertos valores que son 0, hn , 2hn ,3hn ....nhn .
Se denomina u(n )dn a la densidad de energía correspondiente a la radiación cuyas frecuencias están comprendidas entre n y n +dn . Se ha comprobado experimentalmente, desde finales del siglo pasado que la variación observada de u(n ) con la frecuencia n presenta un máximo a cierta frecuencia y que dicha frecuencia se incrementa con el aumento de la temperatura. Esto explica el cambio de color de un cuerpo a medida que se aumenta su temperatura.
La expresión de la densidad de la energía en la radiación del cuerpo negro u(n ) se obtiene actualmente a partir de la fórmula de la estadística de Bose-Einstein, y no mediante el desarrollo original de Planck.

donde k es la constante de Boltzmann cuyo valor es k=1.3805 10-23 J/K.
La densidad de energía del cuerpo negro, se suele expresar en términos de la longitud de onda l en vez de la frecuencia n .



La ley del desplazamiento de Wien

Para cada temperatura T, la densidad de energía u(l ) tiene un máximo, que se obtiene derivando u(l ) con respecto de l , e igualando a cero, resultando la ecuación trascendente, , cuya raíz se puede obtener aplicando un método numérico tan simple como el de iteracción. La raíz de la ecuación es

Este resultado constituye la ley de desplazamiento de Wien, que establece que el máximo de la densidad de energía u(l ) a distintas temperaturas T1,T2T3, .., se produce a las longitudes de onda l 1l 2l 3...tales que

Observaremos que a medida que la temperatura del cuerpo aumenta, el máximo de su distribución de energía se desplaza hacia longitudes de onda más cortas, lo que origina un cambio en el color del cuerpo. La ley de desplzamiento de Wien es muy útil para determinar la temperatura de cuerpos calientes, como hornos o estrellas, determinando la longitud de onda para la cual la intensidad de la radiación es máxima.
Por ejemplo, a temperatura de 200ºK un cuerpo emite luz visible pero la intensidad en el extremo rojo (baja frecuencia, alta longitud de onda) del espectro visible es mucho mayor que la azul (alta frecuencia, baja longitud de onda) y el cuerpo aparece rojo brillante. A 3000º K, la temperatura aproximada de un filamento de una lámpara incandescente, la cantidad relativa de luz azul ha aumentado, pero predomina aún la componente roja. A 6500ºK, que es aproximadamente la temperatura del Sol, la distribución es casi uniforme entre todas las componentes de la luz visible y el cuerpo aparece blanco brillante. Por encima de 10000ºK se emite luz azul con mayor intensidad que roja y un cuerpo (estrella caliente) a esta temperatura se ve azul.

Actividades

A partir de la ley de Wien se puede determinar el valor de la constante h de Planck. Se mide sobre el eje horizontal el valor de la longitud de onda para el cual la densidad de energía alcanza su valor máximo. El valor medido en el eje horizontal hay que multiplicarlo por el factor 10-6 m
Temperatura (ºK)
Longitud de onda (m)
Constante de Planck h (J s)












Se comproba que los valores obtenidos para h están próximos a 6.63 10-34 Js.



La ley de Stefan-Boltzmann

Para calcular la intensidad de la radiación emitida por un cuerpo negro a la temperatura T, en una región del espectro limitada por las longitudes de onda l1l2. Es necesario integrar numéricamente la expresión.

Cuando l1=0 y l2=¥ , obtenemos la intensidad emitida por el cuerpo negro en todo el espectro. El valor de esta integral es

Esta expresión se conoce como ley de Stefan-Boltzmann. La intensidad de la radiación emitida por un cuerpo negro es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta.

Actividades

Obtener la intensidad de la radiación emitida por un cuerpo negro a una temperatura dada en distintos intervalos de longitudes de onda. En la tabla se recogen los datos de las distintas regiones del espectro, la longitud de onda se da en m m (10-6 m).
Región del espectro
Intervalo (m m)
(1) Infrarrojo lejano
1000-30
(2) Infrarrojo medio
30-3
(3) Infrarrojo cercano
3-0.78
(4) Visible
0.78-0.38
(5) Ultravioleta
0.38-0006
Se ompletará una tabla semejante a la siguiente. Anotando la intensidad de la radiación emitida por un cuerpo negro en las distintas regiones del espectro y en todo el espectro a las siguientes temperaturas.


(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Todo
850 ºK






1000 ºK






1200 ºK
























Fuente: http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/teoria/A_Franco/cuantica/negro/radiacion/radiacion.htm

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